包絡線(発展)

この内容は高校数学とは違う発展的な内容です。

内容的にはそこまで難しいものではありませんが、習っていない記法などもあり、これができないと解けない問題はありません。 数学オタク以外は飛ばして結構です。

包絡線とは、ある曲線群に対して、すべての曲線とどこかで接するような曲線のことを言います。

例えば曲線群(ここでは直線群)$y=2tx-t^2$の包絡線は$y=x^2$ となります。($t$に何個か値を代入してみて図示して確かめてみましょう！)

ここで有名事実を述べると、

曲線群$f(x,y,t)=0$の包絡線の方程式は $f(x,y,t)=0$と$\frac{\partial}{\partial t}f(x,y,t)=0$から$t$を消去した式である。

です。(証明略)

つまりは、$y=2tx-t^2$に対し、$f(x,y,t)=y-2tx+t^2=0$とおけば、

$\frac{\partial}{\partial t}f(x,y,t) = -2x+2t=0$

$\therefore y=2x^2-x^2=x^2$と求まります。

では例題を解いてみましょう。

直線群$y=12t^2x-16t^3(t\geqq 0)$の通過領域を求めよ

直線群$y=12t^2x-16t^3$に対して、 $t$で偏微分すれば$0=24tx-48t^2$

よって、$t$を消去して$y=x^3$これが包絡線です。

よって、$t\geqq0$も考えると、通過領域は以下です。