順像法は、基本1文字を固定することにより、他の変数がどう動くかを考える手法です。 イメージ的には、問題文の文章からまっすぐ解いていくやり方です。

1文字固定

$x \geqq 0$ かつ $y \geqq 0$ かつ $x+y \leqq 2$ を満たす$x,y$に対し、 $z=2xy+ax+4y$の最大値を求めよ。ただし$a$は負の定数とする。

ここでは$x,y$に関係式は与えられていないので独立変数であり、文字の消去は考えられません。

ですから、2変数を同時に動かすのはすごく難しいことです。

そこでどうするかというと、どちらかの変数を固定し、片方だけ動かすという考え方をします。

キーポイントとして、固定する変数は複雑なものがいいです。具体的に言えば次数が高かったり、出現回数が高い変数を固定するのがおすすめです。

これはなぜかというと、難しい変数を固定し定数としてあげることで、残った変数の式が簡単になるからです。

例えば$z=x^3y+4x^2y+3x$はどちらを固定するかというと、$x$です。$x$は3次に対して$y$は1次で、固定後は$y$の単なる1次式に帰着できますからね。

さて、この問題ではどちらを固定しましょうか。次数は同じですから、どちらでも良いと思いますが、しいて言うなら$x$を固定しましょう。

なぜなら、$x$の係数に$a$がついており、少しややこしいからです。(本問では$a$は負の定数とされているのでそこまで面倒ではないですが、$a$が正負どちらもとるときは面倒になるので迷わず$x$を固定します。)

$x$を固定するので$y$の範囲を考えましょう。

$x=X$と固定したとき、$X\geqq 0$かつ$y\geqq 0$かつ$y\leqq -X+2$となるので、 $X\geqq 0$かつ$0\leqq y \leqq -X+2$となります。

この時、$z=(2X+4)y+aX$という1次関数で、$X\geqq 0$から傾き$2X+4\geqq 0$となり、つまりは$z$は$y$の単調増加関数ですね。

したがって、$z$の最大値は$y$の最大のところでとって、$y=-X+2$で$z$の最大値$(2X+4)(2-X)+ax=-2X^2+aX+8$

ここで$X$を動かすことで最大値が具体的にわかります！

ただし、$X$の範囲が重要です。$X\geqq 0$は題意からわかり、また$x+y\leqq2$より合わせて$0\leqq X \leqq -y+2$となります。

$y\geqq 0$から、$0\leqq X\leqq 2$となります。

$z=-(X-\frac{a}{4})^2+\frac{a^2}{16}+8$から軸$X=\frac{a}{4}$、$a<0$から$\frac{a}{4}<0$。 つまりは$0\leqq X\leqq 2$の範囲ではもちろん$z$は単調減少関数です。

したがって、$z$の最大値は$X=0$で、$z=8$となりました。($x=0, y=2$)

ファクシミリの原理

$t \geqq -1$の範囲で$t$が動くとき、直線$y=2tx-t^2$が$xy$平面上で通過する領域を図示せよ。

座標平面の場合、$x$をある値で固定すればその点での$y$の範囲がわかります。

そこで、$x=X$と固定して、$y$の動く範囲を求め、それをすべての$X$に対して考えれば、いわばFAXのように少しずつ通過領域が浮かび上がります。

このことから月刊誌「大学への数学」ではファクシミリの原理と呼ばれる手法です。(この呼び方はメジャーでないので、ファクシミリの原理と答案に書かないようにしてください)

通過領域の問題でよく使われる手法なのでしっかり押さえておきましょう。

先ほどの解法と異なるアプローチですが、座標平面上での通過領域の題ではうまくいくことが多いです。

「なぜ$x$以外に$t$などの複雑な文字があるのにそれを固定しないんだ」と思うかもしれませんが、それは$t$が定数として扱われているためであり、かつ最終的な図示の目標は$xy$平面上であり、$t$はそこに表れないためです。

$x=X$でカットしたスライスに対して$t$を動かせば、それすなわち$y$の範囲がわかることになる、と考えればいいでしょう。

では問題に取り掛かりましょう。

ここではファクシミリの原理的に$x=X$と$x$を固定して考えましょう。

すると$y=2tX-t^2=-(t-X)^2+X^2$となります。

このような考え方から、$y=-(t-X)^2+X^2$をtの二次関数と見れば、$t$の範囲は$t \geqq -1$ですから、この範囲での$y$の最大最小を場合分けして求めていきましょう。

軸の動く二次関数の最大最小問題へと帰着されます。

$[i]$ $X \geqq -1$のとき

$y$は$t=X$で最大値$X^2$をとり、最小値はない。

$\therefore y \leqq X^2$

$[ii]$ $X < -1$のとき

$y$は$t=-1$で最大値$-(X+1)^2+X^2=-2X-1$をとり、最小値はない。

$\therefore y \leqq -2X-1$

$[i][ii]$より、求める領域は以下です。(図示略)

演習問題

正の実数$a$に対し、放物線C: $y=ax^2+\frac{1-4a^2}{4a}$で$a$が正の実数全体を動くとき、Cの通過領域を求めよ。

これは東大です。やり方は全く変わらず、ここでも$x=X$と固定して考えましょう。

一部極限的な考え方を用いますが、考えようによって未習でも解けないことはありません。

$x=X$と固定します。$y$のとりうる範囲を求めていきましょう。

$y=aX^2+\frac{1-4a^2}{4a}=a(X^2-1)+\frac{1}{4a}$

ここから$a$を動かして$y$のとりうる範囲を求めます。

$[i]$ $X^2-1=0$の時

$y=\frac{1}{4a}(a>0)$のとる範囲$y>0$

$[ii]$ $X^2-1<0$の時

どちらの項も単調減少関数であり、$a\to0$で$y$は$\infty$にとび、$a\to \infty$で$y$は$-\infty$にとびます。 ここから、$y$は実数全体をとることがわかります。

極限的な書き方をすれば$\lim\limits_{a\to0} y = \infty$かつ$\lim\limits_{a\to\infty} y = -\infty$ということになりますが、言っていることは同じです。 数式の見た目に惑わされないようにしましょう。

$[iii]$ $X^2-1>0$の時

相加平均$\geqq$相乗平均から、$y\geqq2\sqrt{\frac{a(X^2-1)}{4a}}=\sqrt{X^2-1}$

したがって$y$のとる範囲は$\sqrt{X^2-1}\leqq y$

$[i][ii][iii]$から、求める範囲は以下(図示略)